حل المعادلات الخطية المتجانسة | Linear Homogeneous Equations

المعادلات الخطية المتجانسة هي النوع الأول من العلاقات المُتكررة (Recurrence Relations)، حيثُ تُتبع لحلها طريقة معيارية نسبة لسهولة حلها و وضوح هيكلها. أهمية طُرق حل المعادلات الخطية المتجانسة و غير المتجانسة تتمثل في أنه بمعرفتك للحل ستمتلك بيدك أدوات تُسهل لك حل المعادلات المُعقدة إلى حد بعيد جداً، و هنا تكمنُ المتعة.

هيكل المعادلات الخطية المتجانسة

الشكل العام للمعادلات الخطية المتجانسة يتمثل في الشكل أدناه

حل المعادلات الخطية المتجانسة

حيث a يمثل معاملاً ثابتاً (عدداً حقيقياً)، أما n يمثل العدد الذي نرغب بتطبيقه على المعادلة.

ففي كل حد من حدود المعادلة يوجد معامل ثابت يُضرب في العدد المراد تطبيق المعادلة عليه ناقصاً واحد في أول مرة (n-1)، و في ثاني مرة يُنقص منهُ إثنان (n-2) و الثالثة ثلاثة (n-3) و هكذا.

فإذا سألتُك في المرة الحادية و السبعين كم سيُنقص من n فستُجيب بإحدى و سبعين، و إذا رمزنا للمرة التي سننقص فيها بالرمز k فسننقص من n العدد k أي (n-k). لذا في آخر المعادلة توجد (f(n-k.

أما الرقم الذي يوجد بأسفل المعامل a فيُعتبر رمز فقط لتعرف إلى أي حد ينتمي هذا المعامل، فمن الممكن أن يكون المعامل في الحد الأول 30 و في الحد الثاني 10 و الثالث 12 و هكذا عشوائياً. فإذا سؤلت ما هي قيمة a2 فستُجيب أنها 10 وفق المثال الذي ضربتُهُ لك آنفاً.

طريقة حل المعادلات الخطية المتجانسة

سنستعرض طريقة حل المعادلات الخطية المتجانسة عند حالتين فقط، و هما عندما تكون قيمة k تساوي 1 و عندما تكون قيمة k تساوي 2.

الحالة الأولى

هي عندما k=1 و تعني قيمة k تساوي 1 أن عدد الحدود في المعادلة هو واحد فقط. أي أن المعادلة لها الهيكلة التاليةالمعادلات الخطية المتجانسةهذه الحالة لها طريقة حل مُباشرة جداً. بتطبيق القانون التالي.حل المعادلات الخطية المتجانسةو لنأخذ مثالاً على ذلكالمعادلات المتجانسة

الحالةُ الثانية

 عندما تكون k = 2، أي أن المعادلة لها حدان إثنان بالهيكل أدناه
هيكل المعادلة الخطية المتجانسةفي هذه الحالة للحل طريقةٌ مختلفة وفق الخطوات التالية:

  • نُنشئ معادلة من الدرجة الثانية بالهيكل التالي حل المعادلات المتجانسة ثم تُحل لإيجاد قيمتين r1 و r2.
  • قيمُ r1 و r2 هي كالتالي المعادلات المتجانسة.
  • من هنا يوجد طريقان، ستُحدد الطريق الذي ستسلكه وفقاً لقيم r1 و r2 :
    1. إذا كانت r1=r2 عندها تستخدم المعادلة معادلات متجانسة.
    2. إذا كانت r1 != r2 عندها تستخدم المعادلة معادلات متجانسة.
  • نعوض القيم عندما تكون n=1 و n=0 لإيجاد قيمة C1 و C2، لا تقلق من إيجاد قيم المعادلة عندما تكون n=1 و n=2 فعادة ما تكون مُعطاه كما سترى بالمثال.
  • نستخدم قيم C1 و C2 في المعادلة الناتجة من الخطوة رقم 3.

خطوات بسيطة و لكن إذا أحسست أنها غامضة نوعاً ما ستتضح لك مع المثالين التاليين بإذن الله

أمثلةٌ لحل المعادلات الخطية المتجانسة

في المثال الأول ربطتُ لك أرقام الخطوات المذكورة مسبقاً بخطوات الحل لمساعدتك على التركيز، أما المثال الثاني فقد تركتُه لك لثقتي بفهمك لطريقة الحل.

المثال الأول : عندما تكون r1 !=r2

حل المعادلة الخطية المتجانسة

إتباعك للخطوات بصورة صحيحة هو طريقك لحل المعادلات الخطية المتجانسة، كما أن حفظك للخطوات و القوانين لا مناص منه، أتمنى أن يكون هذا الشرح قد بيّن لك طريقاً للحل و تُسعدني أسئلتك و ملاحظاتك التي تبديها بالتعليقات أدناه.

مصطفى الطيب

صديقٌ لنُظمِ المعلُومات و عُلومِ الحَاسِب و مُختصٌ بهما، مُحبٌ للعِلمِ و نَشرِه.
أُشاركُ معارفي و تَجاربي و خِبراتي في تَدويناتٍ و دوراتٍ من خلال مُدونةِ عُلوم.

مقالات ذات صلة

12 رأي على “حل المعادلات الخطية المتجانسة | Linear Homogeneous Equations”

    1. وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ميثاق،

      مُستصحبةً أن اختصاصي بعلوم الحاسب و نظم المعلومات، أرجو التوضيح أكثر عن مستوى البحث.
      ما هو تخصصك الدراسي؟ في أي سنة؟ ما هي المادة التي تتطلبُ هذا البحث؟

  1. السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
    شكراًجزيلاً على مجهودكم

    الرجاء مراجعة مثال الحالة الأولى :

    لاحظ أن

    3 × 10 مرفوعا للقوة n
    لا تساوي 30 مرفوعا للقوة n كما ذكرتم

    وجزاكم الله تعالى كل خير

  2. المعادلات الخطية هي معادلات من الدرجة الأولى وبهذه الحالة عدد المعالات يساوي عدد المجاهيل ولها عدة طرق للحل(رياضياً) هذا ما أعرفه عن المعادلات الخطية

  3. الأخ مصطفى شكرا لك على الشرح و لكنك جانبك الصواب و افترضت أن من يشاهدك عنده معلومات سابقة و لم تبدأ من الصفر .
    رجاء عندما تشرح لطللاب لم يسمعوا منك من قبل ابدأ معهم من الصفر لكن طلاب يدرسون معك منهج فعندهم ما سبق من معلومات فتبنى عليها
    أنت بدات بداية لا نعرف عنها شئ … ما هو الذى كتبته ؟؟؟
    ما المقصود بـ a
    ما المقصود بـ r
    ما المقصود بكلمة معادلة متجانسة ؟؟؟ و متى تكون متجانسة ؟؟؟ و متى لا تكون متجانسة ؟؟؟
    و عندما تكون متجانسة ما هى الطرق و الخطوات لحل المسألة ؟؟؟
    و إذا لم تكن متجانسة ما هى خطوات الحل ؟؟؟
    أنت تدرس لتبسيط الأمور على الطلاب و ليس لتعقيد الأمور و اعتبار ان الطلاب يعرفون ما تعرف من معلومات … طيب لو احنا نعرف هنسأل ليه ؟؟؟ الطالب جاهل يجب معاملته ليكون عالم و ليس معاملته كعالم من الأن .
    عندك معلومات رائعة لا شك و لكن ليس عندك المقدرة لتوصل المعلومة للناس بطريقة سهلة و بسيطة … لو أدرت خدمتنا فعلا فبسط الكللام و السؤال هو :
    متى تكون المعادلة التفاضلية متجانسة ؟؟؟ و ما هى خطوات الحل و ما هو الهدف النهائى من الحل ؟؟؟
    و متى تكون غير متجانسة ؟؟ و ما هى خطوات الحل و ما هو الهدف النهائى من الحل ؟؟؟
    شكرا لك على كل حال

    1. وعليكم السلام ورحمة الله علاء،
      شكراً لمساهمتك. يبدو أنّك لم تجد ما توقّعته في هذه التدوينة.
      التدوينة مساحة تدوّن فيها ما تريد بصورة شخصية، ولم أزعم أنك ستجد كتاباً عن المعادلات هنا 🙂
      كما يسعدني جداً أن تُضيف ما ترى أنه سيفيد قراء مدونة علوم بالتعليقات، فبالمشاركة نرتقي.

  4. هل معامل x و معامل y يؤثر فى تجانس المعادلة التفاضلية ؟؟؟
    هل الحد المطلق يؤثر فى تجانس المعادلة التفاضلية يعنى
    هل تلك المعادلة متجانسة ؟؟؟
    3x+4y=0 متجانسة أم يجب أن تكون 3x+3y=0 ؟؟؟
    هل الحد المطلق يؤثر فى تجانس الدالة اى
    3x+3y+1=0 متجانسة أم لا و لماذا .
    و على العموم ما هى قواعد التجانس أو عدم التجانس فى المعادلات التفاضلية .
    كيف انظر للمعادلة التفاضلية اعرف مباشرة أنها متجانسة أو غير متجانسة ؟؟؟
    إذا رايت ماذا تكون متجانسة و إذا لم أرى ماذا تكون غير متجانسة ؟؟؟
    شكرا لك

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *